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圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠

發(fā)布時(shí)間:2023-09-11 責(zé)任編輯:lina

【導(dǎo)讀】根據(jù)您在涉及圓柱形底座的其他物理領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn),您可能已經(jīng)正確猜測(cè),當(dāng)導(dǎo)線具有圓形橫截面時(shí),方程 1 的答案應(yīng)包括貝塞爾函數(shù)。對(duì)于我們總是試圖為不同現(xiàn)象開發(fā)簡單模型的工程師來說,這不是一個(gè)好消息。貝塞爾函數(shù)可用于模擬各種物理問題,從圓柱形物體的熱傳導(dǎo)到描述鼓皮等圓形薄膜的振動(dòng)。然而,它們可能很難可視化,并且顯然比簡單的指數(shù)衰減正弦波要簡單得多。


圓柱形導(dǎo)體中的電流分布

我們可以求解良導(dǎo)體的麥克斯韋方程組,找到電流密度 J 的以下微分方程:

$$ abla ^2 J = j omega mu sigma J$$

等式 1。

如果您對(duì)向量微積分概念感到生疏,那么可怕的符號(hào) ? 2  (Del 平方)被稱為拉普拉斯算子。簡而言之,拉普拉斯算子是多維空間中二階導(dǎo)數(shù)概念的推廣。它由下式給出:

$$ abla ^2 = frac{partial^2 }{partial x^2} + frac{partial^2 }{partial y^2} + frac{partial^2 }{partial z^2}$$

等式2。

方程 1 描述了良導(dǎo)體中的電流分布。它對(duì)于導(dǎo)電半空間和具有圓形橫截面的導(dǎo)線均有效。然而,我們針對(duì)這兩類媒體獲得的解決方案是完全不同的。對(duì)于導(dǎo)電半空間,電流密度是一個(gè)簡單的指數(shù)衰減正弦函數(shù)(如果我們假設(shè)我們正在處理平面波)。但是圓柱形導(dǎo)體呢? 

根據(jù)您在涉及圓柱形底座的其他物理領(lǐng)域的經(jīng)驗(yàn),您可能已經(jīng)正確猜測(cè),當(dāng)導(dǎo)線具有圓形橫截面時(shí),方程 1 的答案應(yīng)包括貝塞爾函數(shù)。對(duì)于我們總是試圖為不同現(xiàn)象開發(fā)簡單模型的工程師來說,這不是一個(gè)好消息。貝塞爾函數(shù)可用于模擬各種物理問題,從圓柱形物體的熱傳導(dǎo)到描述鼓皮等圓形薄膜的振動(dòng)。然而,它們可能很難可視化,并且顯然比簡單的指數(shù)衰減正弦波要簡單得多。

由于這些函數(shù)的復(fù)雜性,我們不會(huì)詳細(xì)分析分析的數(shù)學(xué)細(xì)節(jié),而僅查看Simon Ramo 所著的《通信電子學(xué)中的場(chǎng)和波》一書中提供的結(jié)果。圖 1 顯示了四種不同頻率下 1 毫米直徑圓線橫截面電流分布的歸一化幅度。 


圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠
圖 1. 圓形導(dǎo)線中電流分布的歸一化幅度。圖片由S. Ramo提供


上圖中的參數(shù)r 0表示導(dǎo)線的半徑。在頻率 ( f ) 為 1 kHz 時(shí),集膚深度約為導(dǎo)體半徑的 4.2 倍(或等效 r 0 /δ = 0.239)。正如您所看到的,在這種情況下電流分布幾乎是均勻的。

隨著頻率增加,趨膚深度減小,并且比率r 0 /δ從1kHz處的0.239增加至1MHz處的7.55。請(qǐng)注意,即使對(duì)于r 0 /δ=2.39,導(dǎo)線中心處的電流密度也幾乎是導(dǎo)體表面處的電流密度的一半。這與集膚效應(yīng)的簡化描述不一致,集膚效應(yīng)指出電流密度在δ深度處降低至其表面值的e -1 =0.37。

圖 2 將 r 0 /δ=2.39 和 r 0 /δ=7.55的實(shí)際電流分布與電流密度的指數(shù)衰減分布(對(duì)應(yīng)于導(dǎo)電半空間中的波傳播)進(jìn)行了比較。正如您所看到的,只有當(dāng)導(dǎo)體的曲率半徑遠(yuǎn)大于趨膚深度時(shí),半空間情況的結(jié)果才能用于近似圓線中的實(shí)際電流分布。


圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠
圖 2. 實(shí)際電流分布與平行平面公式的比較。圖片由S. Ramo提供


根據(jù)經(jīng)驗(yàn),如果導(dǎo)體的所有曲率半徑和厚度至少比趨膚深度大 3-4 倍,我們假設(shè)給定的導(dǎo)體類似于半無限塊。到目前為止,在這個(gè)由兩部分組成的系列中,我們依靠求解麥克斯韋方程組來描述集膚效應(yīng)的一些重要的特征。通過觀察法拉第感應(yīng)定律如何在導(dǎo)體內(nèi)部產(chǎn)生渦流,可以對(duì)這種效應(yīng)有更深入(也許更有用)的了解。有了這種洞察力,我們就可以更好地理解不同互連的行為方式。

法拉第感應(yīng)定律和渦流

根據(jù)法拉第定律,變化的磁場(chǎng)會(huì)在導(dǎo)線中感應(yīng)出電動(dòng)勢(shì)(從而產(chǎn)生電流)。圖 3(a) 中簡單而熟悉的實(shí)驗(yàn)說明了該定律的基本思想。通過將磁鐵靠近電線環(huán),電線中會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),從而產(chǎn)生感應(yīng)電流。


圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠
圖 3.改變磁場(chǎng)會(huì)在導(dǎo)體中感應(yīng)出電流


感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與通過電路的磁通量的時(shí)間變化率成正比。此外,感應(yīng)電流往往與初產(chǎn)生感應(yīng)電流的原始磁通量的變化相反(楞次定律)。

圖 3(b) 顯示了當(dāng)磁鐵靠近線圈時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)磁通量。感應(yīng)磁場(chǎng)的方向是試圖保持原始磁通量不發(fā)生變化。 

什么是渦流?

正如變化的磁場(chǎng)可以在環(huán)路中感應(yīng)出電流一樣,當(dāng)將大塊金屬置于變化的磁場(chǎng)中時(shí),它也可以在大塊金屬中產(chǎn)生循環(huán)電流。這些循環(huán)電流稱為渦流,如圖 4 所示。


圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠
圖 4. 在導(dǎo)電平面中產(chǎn)生渦流。圖片由Sciencefacts提供


再次注意感應(yīng)電流的方向。假設(shè)線圈的磁場(chǎng)沿所描繪的方向增加,則感應(yīng)出逆時(shí)針方向的電流以產(chǎn)生與線圈的原始磁場(chǎng)的變化相反的磁場(chǎng)。

載流導(dǎo)體內(nèi)的渦流

當(dāng)電流流過電線時(shí),會(huì)在電線內(nèi)部和外部產(chǎn)生磁場(chǎng)。對(duì)于交流電流,導(dǎo)線內(nèi)部有一個(gè)隨時(shí)間變化的磁場(chǎng),根據(jù)法拉第定律,導(dǎo)線內(nèi)部會(huì)產(chǎn)生渦流。如下圖 5 所示。


圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠
圖 5.交流電流在電線中感應(yīng)出渦流。



可以看出,渦流在導(dǎo)體表面附近沿主電流方向流動(dòng),但在導(dǎo)體內(nèi)部沿相反方向流動(dòng)。因此,靠近導(dǎo)體表面流動(dòng)的總電流增加,而流過導(dǎo)體更深層的電流減少。 

導(dǎo)體中的電流擁擠

應(yīng)該注意的是,導(dǎo)體的某些表面可能比其他表面更有效地承載交流電流。為了理解這一點(diǎn),請(qǐng)回想一下我們上面的討論,變化的磁場(chǎng)會(huì)導(dǎo)致集膚效應(yīng)。現(xiàn)在,如果導(dǎo)體的特定表面處的磁場(chǎng)更強(qiáng),我們可以預(yù)期該表面將承載更大部分的電流。例如,考慮圖 6 中所示的微帶線的橫截面。


圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠
圖 6.參考平面上微帶線導(dǎo)體的橫截面。


圖 6 顯示了微帶線中電場(chǎng)和磁場(chǎng)的一般模式以及粗略的電流分布。請(qǐng)注意,這不是模擬結(jié)果。這只表明行為粗暴!

您是否注意到磁場(chǎng)更加集中在走線的底面和地平面之間?因此,微帶線的底面比其頂面承載更多的電流。例如,大約 60% 的電流可能集中在線路橫截面區(qū)域的深色陰影區(qū)域。由于相鄰載流導(dǎo)體的影響而導(dǎo)致電流聚集在特定表面的現(xiàn)象稱為鄰近效應(yīng)。

并行線路中的電流擁擠

當(dāng)處理兩根平行的圓柱形線時(shí),觀察到類似的效果(圖 7)。在該圖中,兩個(gè)導(dǎo)體中的電流方向相反,因此導(dǎo)線之間的磁場(chǎng)強(qiáng)。結(jié)果,當(dāng)前的人群聚集在彼此相對(duì)的表面上。


圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠
圖 7. 平行線的電流擁擠和鄰近效應(yīng)。圖片由J. Davis提供


矩形導(dǎo)體中的電流擁擠

有趣的是,即使對(duì)于孤立的電線(沒有鄰近效應(yīng)),導(dǎo)體的所有表面也可能不會(huì)承載相同量的電流。例如,細(xì)而寬的矩形導(dǎo)體的電流分布如圖 8 所示。如您所見,垂直表面的電流密度大于水平表面。這是因?yàn)檫@些表面具有更強(qiáng)的磁場(chǎng)。


圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠
圖 8. 細(xì)矩形導(dǎo)線中的電流分布。圖片由Thomas H. Lee提供


方形導(dǎo)體中的電流擁擠

從上面顯示的薄矩形導(dǎo)體的結(jié)果中,您也許能夠猜測(cè)方形導(dǎo)體的電流分布是什么樣的。圖 9 顯示了方形橫截面導(dǎo)體中的電流擁擠情況。四個(gè)角的電流密度。 


圓柱形和矩形導(dǎo)體中的集膚效應(yīng):渦流和電流擁擠
圖 9. 方形導(dǎo)體的電流分布。圖片由艾倫·佩恩提供


不要忘記頻率對(duì)當(dāng)前擁擠的影響

正如我們?cè)诒疚拈_頭附近討論的那樣,電流分布和趨膚深度是頻率的函數(shù)。當(dāng)然,電流擁擠也取決于交流信號(hào)的頻率。直流信號(hào)不會(huì)出現(xiàn)電流擁擠,并且會(huì)隨著頻率的增加而增加(直到某個(gè)點(diǎn))。 

由于電流擁擠,導(dǎo)體會(huì)遭受二次效應(yīng),需要在實(shí)際應(yīng)用中考慮。導(dǎo)體的有效電阻可能比我們假設(shè)恒定電流分布時(shí)更高。電流擁擠還會(huì)導(dǎo)致導(dǎo)體中的熱量和應(yīng)力增加。當(dāng)您創(chuàng)建使用時(shí)變信號(hào)的新設(shè)計(jì)時(shí),始終考慮渦流和電流擁擠對(duì)電路性能的潛在影響。


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