【導(dǎo)讀】在這里，作者將嘗試找出關(guān)于極點和零點的物理感覺，使用運算放大器來控制它們在復(fù)平面中的位置，并利用電路的自然響應(yīng)來說明極點/零點位置的影響。
單端口電路的自然響應(yīng)
我們來看圖1中的無源線性單端口電路，它包括電阻、電容和電感。
圖1：（a）無源單端口電路 （b）自然（或無源）開路響應(yīng)vn(t)。
如果我們施加一個測試電流I(s)，單端口電路將產(chǎn)生電壓V(s)，使得V(s)=Z(s)/(s)，其中I(s)和V(s)是所施加電流和所產(chǎn)生電壓的拉普拉斯變換，s是以sec-1為單位的復(fù)數(shù)頻率。阻抗Z(s)是s的有理函數(shù)形式，即分子多項式N(s)與分母多項式D(s)的比值：
公式N(s)=0的根被稱為Z(s)的零點，表示為z1，z2，……；而公式D(s)=0的根被稱為Z(s)的極點，表示為p1、p2、……。極點和零點統(tǒng)稱為根，也稱為臨界頻率。例如，阻抗：
當(dāng)s=0時，其值為零；當(dāng)s=-3±j4時，它具有復(fù)共軛極點對?？梢杂酶鶃肀磉_它，即：
如果我們繪制|Z(s)|相對于s的幅度曲線，則可以直觀理解零點和極點的含義。所得到的曲線就好像在s平面上豎起的帳篷，在零點處接觸s平面，而在極點處其高度變?yōu)闊o限。
圖2：Z(s)=(10Ω)s/(s2+6s+25)的幅度圖。（通過在虛軸上計算|Z|獲得的分布曲線圖顯示出單端口電路的交流響應(yīng)。）
為了找到極點的物理感覺，我們在s接近極點pk時施加電流I(s)，就可以用相當(dāng)小的I(s)獲得給定的電壓V(s)。s越接近極點pk，獲得給定電壓V(s)所需的電流I(s)越小。在s→pk的極限狀態(tài)下，即使電流為零，即開路，單端口電路也會獲得一個非零的供電電壓（見圖1b）！這個電壓稱為自然響應(yīng)或無源響應(yīng)，因為單端口電路可利用儲存在其電容和電感內(nèi)部的能量來產(chǎn)生電壓。這些能量在電阻中消耗盡了，在無源單端口的情況下，它們將隨時間呈指數(shù)級衰減。實際上，系統(tǒng)理論預(yù)測到自然響應(yīng)符合以下表達式：
其中a1，a2，......，是取決于存儲能量的合適系數(shù)（以V為單位），Z(s)的極點是指數(shù)中時間常數(shù)的倒數(shù)。
那么Z(s)的零點呢？我們來看圖3，它表示圖1的兩種情況。現(xiàn)在施加的信號是電壓V(s)，而響應(yīng)是電流I(s)=[1/Z(s)]V(s)，這表明Z(s)的零點現(xiàn)在成為1/Z(s)的極點。通過雙重推理，在s→zk的極限狀態(tài)下，即使施加零電壓（短路），單端口電路也將提供非零電流（參見圖3b）！該電流稱為自然響應(yīng)或無源響應(yīng)，因為單端口電路利用儲存在其電容和電感內(nèi)部的能量來產(chǎn)生電流。系統(tǒng)理論預(yù)測自然短路電流響應(yīng)符合以下表達式：
其中b1，b2，......，是取決于存儲能量的合適系數(shù)（以安培為單位），Z(s)的零點是指數(shù)中時間常數(shù)的倒數(shù)。
圖3：（a）無源單端口電路（b）自然（或無源）短路響應(yīng)in(t)。
總而言之，單端口電路的自然響應(yīng)由其阻抗Z(s)的根控制：極點控制開路電壓響應(yīng)vn(t)，而零點控制短路電流響應(yīng)in(t)。在某種程度上，根就像是單端口電路的DNA。例如，我們來看圖4的單端口電路。在t=0時，電容兩端的電壓為9V，頂部為正，t>0時它的自然響應(yīng)是什么？可以看出單端口電路呈現(xiàn)的阻抗是：
顯然，z1=–1/(R1C)=-1/(10ms)，p1=-1/[(R1+R2)C]=-1/(30ms)。此外，a1=[20/(10+20)]9=6V且b1=9/10=0.9mA。所以：
圖4：找出（a）開路和（b）短路的自然響應(yīng)。
單極點控制
在圖5a的電路中，由vn表示的節(jié)點和地之間的阻抗為Z(s)=R||(1/sC)=R/(1+sRC)，因此在s=-1/(RC)=-1/(1ms)時電路具有一個極點。假設(shè)vn(0)=1V，我們可以得到：
圖5：（a）基本電路（b）相同的電路，但可以控制極點。
無論怎樣選擇R和C的值，該電路的極點將始終為負(fù)。我們希望找到控制它的方法，以便將其驅(qū)動為零甚至使其成為正的。圖5b示出的電路可以完成這項工作。非反相放大器檢測vn并輸出電壓：
(1 + R2/R1)vn = (1 + k)vn
k = R2/R1
其中R2代表電位器在其左端和游標(biāo)之間的部分。對于給定的元件值，從左端到右端改變游標(biāo)將使k在0<k<2的范圍內(nèi)變化。現(xiàn)在，R3上的電壓為(1+k)vn–vn，即kvn，在右邊是正的，表明R3將為C提供電流kvn/R3。鑒于R從C中汲取電流vn/R，因此從C流出的凈電流為iC=vn[1/R+1/(-R3/k)]，表明C視R與一個負(fù)電阻–R3/k并聯(lián)，凈等效電阻Req=R||(–R3/k)]。擴展后可以得到：
對于給定的元件值，我們有Req=(10kΩ)/(1–k)，因此極點位置現(xiàn)在為s=-1/(ReqC)=-(1–k)/(1ms)，公式（4）變?yōu)椋?/div>
我們討論一下電路作為游標(biāo)設(shè)置函數(shù)的工作原理，使用圖6中的PSpice電路來顯示隨后的自然響應(yīng)類型。
當(dāng)游標(biāo)一直向左（k=0）時，R3上的電壓降為零，因此R3帶有零電流，C通過R放電，時間常數(shù)為1ms，如公式（4）所示；
將游標(biāo)向右移動時，R3將電流提供給C，只要該電流小于R汲取的電流，C仍然會呈指數(shù)放電，但速度比k=0時要慢；
當(dāng)游標(biāo)處于中間（k=1）時，R3輸出的電流等于R汲取的電流，電容的凈電流為零，因此電容電壓保持恒定；
將游標(biāo)進一步向右移動（k>1），使得源電流大于汲取電流，因此C呈指數(shù)充電，從而產(chǎn)生不同的響應(yīng)，直到運放飽和。
圖6：PSpice電路顯示不同k值的自然響應(yīng)，假設(shè)電容最初充電電壓為1V。
圖7描繪了隨k變化的極點位置。
圖7：極點軌跡是k的函數(shù)。
極點對控制
在圖8a的電路中，干擾產(chǎn)生自然響應(yīng)vn(t)的阻抗是:
D(s)的階數(shù)表明我們現(xiàn)在有一個二階系統(tǒng)。對于這樣的系統(tǒng)，D(s)通常以更方便的形式表達:
其中ζ稱為阻尼比，ω0稱為無阻尼固有頻率。設(shè)D(s)=0，可以得到極點對：
比較公式（8）和（9），我們發(fā)現(xiàn)圖8a的電路具有：ζ=1.5和ω0=1/(RC)=1/(1ms)。代入公式（10）得到極點對p1=-1/(0.3818ms)，p2=-1/(2.618ms)，表示vn(t)由一對指數(shù)衰減組成，因為電阻消耗了存儲在電容中的電能。
為簡單起見，假設(shè)圖8a的RC對完全相同?？梢钥闯?，無論我們怎樣選擇元件值，該電路的極點將始終為負(fù)實數(shù)。
圖8：（a）基本電路（b）相同的電路，但可以控制極點。
我們希望可以找到方法來控制它們在復(fù)平面上的位置，以便將它們放置在虛軸上，甚至使它們溢出到復(fù)平面的右半部分。圖8b示出了可完成這項工作的電路。其中最左邊的電容被提升離地，由一個非反相放大器驅(qū)動，該放大器檢測到vn并輸出電壓(1+R2/R1)vn=(1+k)vn，k如公式（5）所示。對于給定的元件值，從左端到右端改變游標(biāo)將使k在0<k<3的范圍內(nèi)變化。這樣做的目的是想通過改變k值，使運算放大器通過最左邊電容注入的能量改變甚至超過電阻消耗的電能。
使用熟悉的電路分析技巧，我們發(fā)現(xiàn)干擾產(chǎn)生自然響應(yīng)vn(t)的阻抗為：
表明2-k=2ζ，或：
ω0=1/(RC)=1/(1ms)。我們來討論電路隨游標(biāo)設(shè)置變化的工作原理，同樣，使用圖9a的PSpice電路來顯示隨后的自然響應(yīng)類型，如圖9b所示。
隨著游標(biāo)一直向左滑動（k=0），可以得到ζ=1。公式（10）得到重合的極點對p1=p2=-1/(1ms)。在這種情況下，系統(tǒng)理論預(yù)測該類型的自然響應(yīng)為：
其中a和b是適合的系數(shù)，取決于t=0時存儲在電容中的能量。如圖9b所示，在初始浪涌之后，自然響應(yīng)呈指數(shù)衰減至趨于零。
設(shè)k=2，得到ζ=0，所以公式（10）預(yù)測純虛極點對p1,2=±j103，其中j是虛數(shù)單位(j2=-1)。使用歐拉公式exp(jα)+exp(–jα)=2cosα，可以看出自然響應(yīng)現(xiàn)在采用這種形式：
圖9：PSpice電路顯示對應(yīng)于不同k值的自然響應(yīng)，假設(shè)在t=0時，Ca充電到1V，Cb放電。
其中a和φ是適合的系數(shù)，取決于t=0時存儲在電容中的能量。其結(jié)果是持續(xù)振蕩，也稱為無阻尼振蕩（因此稱為ω0）。物理上，運算放大器注入單端口電路的能量等于端口電阻消耗的能量，這讓電容以某種乒乓方式交換能量。
● 對于0<k<2，有1>ζ>0，所以現(xiàn)在公式（10）可以預(yù)測一對復(fù)共軛極點。例如，當(dāng)k=1.5時，由公式（12）得到ζ=0.25，因此由公式（10）得到：
代入公式（2），合并，并再次使用歐拉公式，將得到自然響應(yīng)公式：
其中a和φ是適合的系數(shù)，取決于t=0時存儲在電容中的能量。
如圖9b所示，對于k=1.5，電容仍然以乒乓方式開始交換能量，但是該能量逐漸被電阻消耗，從而產(chǎn)生阻尼振蕩。
● 將k提高到2以上，使運算放大器注入的能量超過端口電阻可以消耗的能量，引起發(fā)散振蕩，如圖9b中k=2.1所示。振蕩將持續(xù)增長到運算放大器飽和為止。
圖10示出了隨k變化的根軌跡?？偠灾瑹o源電路的極點位于復(fù)平面的左半部分。為了使它們溢出到右半平面，我們需要一個有源元件，例如示例中的運算放大器，從自己的電源端獲取能量并將其注入單端口電路。右半平面的極點導(dǎo)致發(fā)散的響應(yīng)，最終使放大器飽和。
圖10：（a）作為k的函數(shù)的根軌跡（b）在阻尼響應(yīng)狀態(tài)下的極點對。
一個流行應(yīng)用
我們的電路控制極點對位置的能力可用于產(chǎn)生持續(xù)的正弦波。為此，它需要滿足兩個條件。
● 為了可以自己啟動，電路的初始配置必須使其極點對位于復(fù)平面的右半部分（k>2.0）。
圖11：在虛軸上放置并保持一對極點，以產(chǎn)生正弦波。
即使兩個電容最初都放電，運算放大器的一點噪聲輸入就足以觸發(fā)不斷增長的振蕩。
● 一旦振蕩達到所需幅度，就必須采取一些機制進行干預(yù)，以防止其進一步增長，并將其保持在該幅度。這需要將極點對放置在虛軸（k=2.0）上，并自動保持極點在其上，不管元件老化和漂移，或者任何其它干擾。
在圖11a中，電源接通時，兩個二極管仍然關(guān)閉，因此k=R2/R1=22/10=2.2，表明振蕩增加。隨著振蕩的增加，二極管在交替的半周期內(nèi)逐漸導(dǎo)通，所以k=[R2||(R3+rd)]/R1，其中rd是動態(tài)二極管電阻（rd隨二極管電流而減?。Ｔ趓d<<R3的極限情況下，我們將得到k=(22||100)/10=1.8，表示電路可在1.8<k<2.2的范圍內(nèi)調(diào)整k的值，這包括k=2.0時持續(xù)振蕩達到所需幅度的情況。
假如由于某種原因?qū)嶋H幅度超過期望值，rd將減小并導(dǎo)致k降至2.0以下，從而抵消幅度上升。相反，如果幅度降至所需值以下，rd將增加并使k上升到2.0以上，從而抵消幅度下降。總之，只有k=2.0時電路才能找到它的“和平”狀態(tài)。“啊，這就是負(fù)反饋的魔力！”作者的一名學(xué)生這樣感慨，他畢業(yè)后去了盧卡斯電影公司工作。
